इस लेख में हमारे द्वारा माध्य (Mean) , माध्यक (Median) और बहुलक (Mode) से सम्बंधित परिभाषा , सूत्र और महत्वपूर्ण प्रश्नोतरी दिए गए
है जो कक्षा 7 से 10 तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 10 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा | केन्द्रीय प्रवृति के मापों को सांख्यिकीय औसत के नाम से जाना जाता है | केन्द्रीय प्रवृति के कई माप है जिनमे माध्य , माध्यिका तथा बहुलक सबसे महत्वपूर्ण है | वह मान जो सभी मूल्यों के योग को कुल प्रेक्षणों कि संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है , माध्य (Mean) कहलाता है 1. माध्य = आंकड़ो का योग / आंकड़ो की संख्या 2. वर्ग चिन्ह = उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा / 2 वर्गीकृत आंकड़ो का माध्य मुख्यतः तीन विधियों द्वारा ज्ञात किया जा सकता है जिनके नाम एवं सूत्र निम्न प्रकार है - fi = बारम्बारता माध्य (x) = a + Σ fidi
/ Σfi जहाँ a = कल्पित माध्य माध्य (x) = a + ( Σ fiUi / Σfi ) h जहाँ a = कल्पित माध्य तीनो विधियों से प्राप्त माध्य एक ही है माध्यिका उस कोटि का मान होता है जो व्यवस्थित श्रेणी को दो बराबर संख्याओ में विभाजित करता है | यह मान वास्तविक मूल्यों से स्वतंत्र होता है माध्यक ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम आंकड़ों को आरोही क्रम में सजाते है | 1. माध्यिका = ( n + 1 / 2 ) वां पद 2. माध्यिका = { ( n/2 ) वां पद + ( n/2 + 1 ) वां पद / 2 } 1. माध्यक (Median) = l + ( n/2 - cf / f ) x h जहाँ l = माध्यक वर्ग कि निम्न सीमा केन्द्रीय प्रवृति के माप ( सांख्यिकी ) :-
इस लेख में हम इन्ही माध्य ,माध्यिका तथा बहुलक का
विस्तारपूर्वक अध्ययन करेंगे माध्य क्या है / माध्य कि परिभाषा ( Defination of Mean ) :-
माध्य के सूत्र ( Mean Formula ) :-
वर्गीकृत आंकड़ो का माध्य ज्ञात करना (How to find Mean) :-
xi = प्रेक्षणों कि संख्या ( वर्ग - चिन्ह )
fi = बारम्बारता
di = वर्ग चिन्ह - कल्पित माध्य (xi-a)
fi = बारम्बारता
h = वर्गमाप
Note :-
माध्यक क्या है / माध्यिका कि परिभाषा ( Defination of Median ) :-
माध्यक के सूत्र ( Median formula ) :-
{
जब आंकडे विषम संख्या में हो }
{ जब आंकडे सम संख्या में हो } वर्गीकृत आंकड़ो का माध्यक ज्ञात करना ( how to find Median ) :-
n = प्रेक्षणों की संख्या
cf = माध्यक वर्ग से ठीक
पहले वाले वर्ग कि संचयी बारम्बारता
f = माध्यक वर्ग कि बारम्बारता
h = वर्ग माप ( यह मानते हुए कि वर्ग माप बराबर है )
बहुलक क्या है / बहुलक की परिभाषा ( Defination of Mode ) :-
किसी बिंदु या मान कि अधिकतम पुनरावृति अथवा आवृति , बहुलक कहलाता है |
बहुलक के सूत्र ( Mode Formula/bahulak ka formula) :-
बहुलक (Mode) :- अधिक बार आए आंकड़ो कि कुल संख्या
वर्गीकृत आंकड़ों का बहुलक ज्ञात करना ( How to find Mode )
1. बहुलक = l + (
f1 - f0 / 2f1 - f0 - f2
) x h
जहाँ l = बहुलक वर्ग कि निम्न सीमा
h = वर्ग अन्तराल कि माप
f1 = बहुलक वर्ग की बारम्बारता
f0 = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग कि बारम्बारता
f2 = बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारम्बारता
माध्य , माध्यक तथा बहुलक में सम्बन्ध ( Relation Between Mean , Mode and Median ) :-
3(माध्यक) = बहुलक + 2(माध्य)
माध्य , माध्यक तथा बहुलक के सभी सूत्र ( Mean , Mode and Median all formula ) :-
1. माध्य =
आंकड़ो का योग / आंकड़ो की संख्या
2. वर्ग चिन्ह =
उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा / 2
3. प्रत्यक्ष विधि से माध्य (x) =
Σ fixi / Σfi
4. कल्पित माध्य विधि से माध्य (x) = a +
Σ fidi / Σfi
जहाँ a = कल्पित माध्य
fi = बारम्बारता
di = वर्ग चिन्ह - कल्पित माध्य (xi)
5. पग विचलन विधि से माध्य (x) = a + (
Σ fidi / Σfi
) h
जहाँ a = कल्पित माध्य
fi = बारम्बारता
h =
वर्गमाप
6. माध्यिका = (
n + 1 / 2
) वां पद
{ जब आंकडे विषम संख्या में हो }
7. माध्यिका = {
( n/2 ) वां पद + ( n/2 + 1 ) वां पद / 2
}
{ जब आंकडे सम संख्या में हो }
8. माध्यक (Median) = l + (
n/2 - cf / f
) x h
जहाँ l = माध्यक वर्ग कि निम्न सीमा
n = प्रेक्षणों की संख्या
cf = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग कि संचयी बारम्बारता
f = माध्यक वर्ग कि बारम्बारता
h = वर्ग माप ( यह मानते हुए कि वर्ग माप बराबर है )
9. बहुलक = l + (
f1 - f0 / 2f1 - f0 - f2
) x h
जहाँ l = बहुलक वर्ग कि निम्न सीमा
h = वर्ग अन्तराल कि माप
f1 = बहुलक वर्ग की बारम्बारता
f0 =
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वर्ग कि बारम्बारता
f2 = बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारम्बारता
10. 3(माध्यक) = बहुलक + 2(माध्य)
11. बहुलक = 3(माध्यक) - 2(माध्य)
12. 2(माध्य) = 3(माध्यक) - बहुलक
माध्य , माध्यक एवं बहुलक पर आधारित प्रश्नोतरी :-
1. दिए गए आंकड़ो का माध्य , माध्यक तथा बहुलक ज्ञात करे |
2,3,8,3,1,1,3
(a) माध्य =
आंकड़ो का योग / आंकड़ो की संख्या
=
2 + 3 + 8 + 3 + 1 + 1 + 3 / 7
(b) माध्यक = माध्यक ज्ञात करने के लिए आंकड़ों के सर्वप्रथम आरोही क्रम में सजाते है -
1,1,2,3,3,3,8
कुल आंकड़ों कि संख्या n = 7 (विषम है)
माध्यिका =
n + 1 / 2
वां पद
माध्यिका =
7 + 1 / 2
= 4 वां पद
(c) बहुलक :- अधिक बार आए आंकड़े की कुल संख्या
यहाँ 3 सर्वाधिक तीन बार आया है इसलिए बहुलक 3 होगा
2. यदि माध्य = 7 और माध्यिका = 9 हो तो बहुलक ज्ञात करे |
बहुलक = 3(माध्यक) - 2(माध्य)
= 3(9) - 2(7) = 27 - 14 = 13
3. निम्न वर्गीकृत आंकड़ो का किसी एक विधि से माध्य ज्ञात करे
| वर्ग अन्तराल | 10-25 | 25-40 | 40-55 | 55-70 | 70-85 | 85-100 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 2 | 3 | 7 | 6 | 6 | 6 |
उत्तर :- यहाँ हम प्रत्यक्ष विधि से माध्य ज्ञात करेंगे
| 10-25 | 2 | 17.5 | 35.0 |
| 25-40 | 3 | 32.5 | 97.5 |
| 40-55 | 7 | 47.5 | 332.5 |
| 55-70 | 6 | 62.5 | 375.0 |
| 70-85 | 6 | 77.5 | 465.0 |
| 85-100 | 6 | 92.5 | 555.0 |
| योग | Σfi = 30 | Σfixi = 1860.0 |
प्रत्यक्ष विधि से माध्य =
Σfixi / Σfi
4. निम्न आंकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए
| वर्ग अन्तराल | 1-3 | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 |
| बारम्बारता(f) | 7 | 8 | 2 | 2 | 1 |
अधिकतम वर्ग बारम्बारता = 8
बहुलक वर्ग = 3-5
बहुलक वर्ग कि निम्न सीमा (l) = 3
वर्ग माप (h) = 2
बहुलक वर्ग कि बारम्बारता f1 = 8
बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग कि बारम्बारता (f0) = 7
बहुलक वर्ग के ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारम्बारता (f2) = 2
बहुलक = l + (
f1 - f0 / 2f1 - f0 - f2
) x h
= 3 + (
8 - 7 / 2(8) - 7 - 2
) x 2= 3.286
5. निम्न वर्गीकृत आंकड़ो का माध्यक ज्ञात कीजिए
| वर्ग अन्तराल | 140 से कम | 140-145 | 145-150 | 150-155 | 155-160 | 160-165 |
| बारम्बारता(f) | 4 | 7 | 18 | 11 | 6 | 5 |
| 140 से कम | 4 | 4 |
| 140-145 | 7 | 4+7 = 11 |
| 145-150 | 18 | 11+18 = 29 |
| 150-155 | 11 | 29+11 = 40 |
| 155-160 | 6 | 40+6 = 46 |
| 160-165 | 5 | 46+5 = 51 |
जहाँ माध्यक वर्ग कि निम्न सीमा (l) = 145
प्रेक्षणों कि संख्या (n) = 51
माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग कि संचयी बारम्बारता (cf) = 11
माध्यक वर्ग की बारम्बारता (f) = 18
वर्ग माप (h) = 5
माध्यक (Median) = l + (
n/2 - cf / f
) x h
माध्यक (Median) = 145 + (
51/2 - 11 / 18
) x 5
माध्यक (Median) = 145 +
72.5 / 18
माध्यक (Median) = 149.03
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