भौतिक शास्त्र
प्रश्न 20. किसी गोलीय दर्पण की फोकस दूरी और वक्रता त्रिज्या में संबंध स्थापित कीजिए।
अथवा
किसी गोलीय दर्पण के लिए सिद्ध कीजिए f = (R/2)
उत्तर- चित्र में P ध्रुव, C वक्रता केन्द्र व F दर्पण का मुख्य फोकस है। प्रकाश किरण मार्ग व दूरियाँ चित्र में प्रदर्शित है। माना एक प्रकाश किरण MO, मुख्य अक्ष के समान्तर दर्पण पर आपतित होती है तथा यह OF दिशा में परावर्तित होती है। OC को मिलाया, यह बिन्दु 0 पर दर्पण का अभिलम्ब है।
चित्र- अवतल दर्पण की फोकस दूरी व वक्रता त्रिज्या में सम्बन्ध
MP BOARD CLASS 12 IMPORTANT QUESTION ANSWERS
इस अध्याय के अंतर्गत हम फोकस दूरी एवं वक्रता त्रिज्या के संबंध का सूत्र स्थापित करेंगे, और सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को ध्यान से समझते हैं।
इसके लिए चित्र तैयार करते हैं। जिसमें XY एक अवतल दर्पण है AB प्रकाश की किरण मुख्य अक्ष के समांतर, दर्पण पर आपतित होती है। तथा परावर्तन के पश्चात यह प्रकाश किरण BF पर परावर्तित होती है। बिंदु B पर एक अभिलंब CB डाला जाता है इस अभिलंब से आपतित किरण दो कोणों में विभाजित हो जाती है।
परावर्तन के नियम से –
आपतन कोण, परावर्तन कोण के बराबर होता है। क्योंकि प्रस्तुत चित्र में ∠ABC आपतन कोण है जिसे i द्वारा दर्शाया गया है। तथा ∠CBF परावर्तन कोण है जिसे r द्वारा दर्शाया गया है। तब यह आपस में बराबर होंगे। अर्थात्
आपतन कोण = परावर्तन कोण
i = r
∠ABC = ∠CBF
एकांतर कोण प्रमेय द्वारा
∆CBF में, ∠B तथा ∠C आपस में बराबर होंगे। अतः
i = θ
चूंकि इस प्रमेय में दो कोण तथा दो भुजा बराबर होती हैं अतः
भुजा BF = भुजा FC
परंतु दर्पण का द्वारक छोटा है इस कारण भुजा BF, फोकस दूरी के बराबर होगी।
अतः
BF = PF
प्रस्तुत चित्र में R वक्रता त्रिज्या को निरूपित करता है। जिसका मान PF तथा CF के जोड़ के बराबर होगा। तब
PC = FC + CF = R
ऊपर एकांतर कोण प्रमेय द्वारा हमने पढ़ा है की भुजा CF, BF के बराबर है तथा BF, द्वारक के कारण PF के बराबर है तब
CF = BF = PF
अतः वक्रता त्रिज्या
R = PC = PF + CF
R = PF + PF
चूंकि PF चित्र में फोकस दूरी F को ही दर्शाता है अर्थात्
R = f + f
\footnotesize \boxed { R = 2f }
पढ़ें… 12वीं भौतिकी नोट्स | class 12 physics notes in hindi pdf
यही फोकस दूरी तथा वक्रता त्रिज्या के बीच संबंध का सूत्र है इसे ऐसे भी लिख सकते हैं।
\footnotesize \boxed { f = \frac{R}{2} }
इस सूत्र के अनुसार फोकस दूरी, वक्रता त्रिज्या की आधी होती है।
किसी गोलीय दर्पण की फोकस दूरी और वक्रता त्रिज्या में संबंध
(f = R/2)
किसी गोलीय दर्पण की फोकस दूरी और वक्रता त्रिज्या में संबंध :- मान लीजिए C दर्पण का वक्रता केंद्र है। मुख्य अक्ष के समानांतर एक किरण पर विचार करें जो दर्पण से M पर टकराती है। तब CM दर्पण के लिए M पर लंबवत होगा। मान लीजिए कि θ आपतन कोण है, और MD मुख्य अक्ष पर M से डाला गया लंब है। तब,
अवतल दर्पण के लिए
उत्तल दर्पण के लिए
∠MCP = θ and ∠MFP = 2θ
tanθ = MD/CD and tan 2θ = MD/FD
θ के कम मानो के लिए,अर्थात उपाक्षीय किरणों के लिए, tanθ ≈ θ और tan 2θ ≈ 2θ.
अतः,
MD/FD = 2(MD/CD)
व FD = CD/2
अब θ के कम मानो के लिए, बिंदु D, बिंदु P के बहुत निकट होगा, इसलिए
FD = f और CD = R
तब
f = R/2
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