इस लेख में हमारे द्वारा सरल रेखा की परिभाषा , गुण , विशेषताएँ , सूत्र तथा प्रश्नोतरी दिए गए है जो कक्षा 7 से 10 तथा 11 एवं 12 के लिए अतिमहत्वपूर्ण है | कक्षा 11 NCERT के लिए तो यह लेख बहुत ही फायदेमंद है | आप हमे नीचे comment करके बता सकते है कि आपको यह लेख कैसा लगा | Show
सरल रेखा क्या है / सरल रेखा की परिभाषा :-जब दो निश्चित बिन्दुओ को एक सीध में मिलाया जाए अर्थात् वह रेखा जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक बिना बदले जाती है , सरल रेखा कहते है | सरल रेखा की विशेषताएं या गुण :-1. सरल रेखा की केवल लम्बाई होती है इस लेख में हम निर्देशांक ज्यामिति के अध्धयन को सरलतम ज्यामितीय आकृति - सरल रेखा के गुणधर्मों के अध्धयन हेतु सतत करते रहेंगे | रेखा की ढाल ( Slope of a line ) :-ढाल की परिभाषा :-यदि θ किसी रेखा l का झुकाव है तो tanθ को रेखा l की ढाल को m से व्यक्त करते है | अर्थात् m = tanθ जहाँ θ ≠ 90० रेखा की ढाल , जब उस पर दो बिन्दु दिए गए हों :-माना कि एक उर्ध्वेत्तर रेखा l , जिसका झुकाव θ है , पर दो बिंदु P( x1 , y1 ) और Q ( x2 , y2 ) है m = y2 - y1 / x2 - x1 ---------(2)समीकरण (1) व (2) से m = tanθ = y2 - y1 / x2 - x1 दो रेखाओ के समांतर होने पर उनकी प्रवणताएँ ( ढाल ) :-माना l1 तथा l2 दो समांतर रेखाएं है तब उनके झुकाव अर्थात् प्रवणताएँ ( ढाल ) समान होगें अर्थात् m1 = m2 अत: दो उर्ध्वेत्तर रेखाएं l1 और l2 समांतर होती है , यदि और केवल यदि उनके ढाल समान है दो रेखाओं के परस्पर लम्ब होने का प्रतिबन्ध :-यदि दो रेखाएँ l1 और l2 परस्पर लम्ब है तथा उनकी प्रवणताएं ( ढाल ) क्रमशः m1 तथा m2 है तब m2 = -1 / m1 या m1 * m2 = -1अत: दो उर्ध्वेत्तर रेखाएं l1 और l2 परस्पर लम्ब होती है , यदि और केवल यदि उनकी ढाल परस्पर ऋणात्मक व्युत्कम है दो रेखाओं के बीच का कोण :-माना l1 और l2 दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ है तथा इनकी ढाल क्रमशः m1 तथा m2 है रेखाओ l1 और l2 के बीच संलग्न कोण θ और Φ है इस प्रकार m1 और m2 ढाल वाली रेखाओं l1 और l2 के बीच का न्यूनकोण (θ) इस प्रकार है - tanθ = | m2 - m1 / 1 + m1 * m2 | जहाँ 1 + m1 * m2 ≠ 0अधिक कोण ( Φ ) Φ = 180० - θ के प्रयोग से प्राप्त किया जा सकता है तीन बिन्दुओं की संरेखता :-यदि xy - तल में A,B और C तीन बिंदु है तब के एक रेखा पर होंगे अर्थात् तीनों बिंदु संरेख होंगे यदिऔर केवल यदि सरल रेखा का समीकरण [ बिंदु - ढाल रूप ( Point - Slope Form ) ] :-नियत बिंदु (x0 , y0 ) से जाने वाली ढाल m की रेखा पर बिंदु (x,y) है यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक निम्न समीकरण को संतुष्ट करते है - m = y - y0 / x - x0 या y - y0 = m(x - x0) उपरोक्त समीकरण सरल रेखा का समीकरण कहलाता है | सरल रेखा का व्यापक समीकरण दो बिंदु रूप समीकरण :-माना रेखा L दो बिंदुओ P1(x1,y1) और P2(x2,y2) से जाती है और L पर व्यापक बिंदु P(x,y) है | तब दो बिंदुओ से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण - y - y1 = y2 - y1 / x2 - x1 (x - x1)ढाल अंत: खंड रूप ( Slope - intercept form ) :-स्थिति - I :-ढाल m वाली रेखा y अक्ष से C अंत: खंड बनाती है , स्थिति - II :-ढाल m वाली रेखा x अक्ष से d अंत: खंड बनाती है , अंत:खण्ड रूप ( Intercept form ) :-x अक्ष और y - अक्ष से क्रमश: a और b अंत: खंड बनाने वाली रेखा का समीकरण - x / a +y / b = 1लम्ब रूप ( Normal form ) :-मूल बिंदु से लाम्बिक दूरी P और धन x-अक्ष तथा लम्ब के बीच का कोण W वाली रेखा का समीकरण - सरल रेखा का व्यापक समीकरण :-जब A और B के साथ शून्य नही है तो Ax +By + C = 0 के रूप का कोई समीकरण , रेखा का व्यापक रैखिक समीकरण कहलाता है | Ax +By + C = 0 के विभिन्न रूप :-इस समीकरण को रेखा के समीकरण के विभिन्न रूपों में रूपांतरित किया जा सकता है जो कि निम्न प्रकार है - (A) ढाल अंत: खंड रूप :-यदि B ≠ 0 तो Ax +By + C = 0 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है - y = -A / B x -C / B या y - mx + cजहाँ ढाल m = -A / B y अंत: खंड = -C / B (B) अंत: खण्ड रूप :-यदि C ≠ 0 तो Ax+By+C = 0 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है - x / -C/A +y / -C/B = 1x / a +y / b = 1यहाँ x अंत: खंड a = -C / A y अंत: खंड b = -C / B (C) लम्ब रूप :-समीकरण Ax+By+C = 0 का लम्ब रूप जहाँ Cosω = ± A / √ A2 + B2 Sinω = ± B / √ A2 + B2 P = ± C / √ A2 + B2 एक बिंदु की रेखा से दूरी :-बिंदु (x1,y1) को रेखा Ax+By+C = 0 की लाम्बिक दूरी (d) रस प्रकार है - d = | Ax1+ By1+ C | / √ A2 + B2 दो समांतर रेखाओ के बीच की दूरी :-दो समांतर रेखाओं y = mx + c1 और y = mx + c2 के बीच की दूरी - d = | c1 - c2 | / √ 1 + m2 यदि रेखाएँ व्यापक रूप में दी गई है अर्थात् Ax+By+C1 = 0 और Ax+By+C2 = 0 तो बीच की दूरी - d = | c1 - c2 | / √ A2 + B2 सरल रेखाओं से सम्बंधित प्रश्नोतरी ( Straight Lines Question and Answer ) :-(1) उस रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए जो (3,-2) और (-1,4) बिंदुओ से होकर जाती है ?रेखा की ढाल ( m ) = y2 - y1 / x2 - x1 m = 4 - (-2) / -1 - 3 =6 / -4 =-3 / 2 (2) (-2,3) से जाने वाली ढाल -4 की रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ?यहाँ m = -4 (3) बिंदुओ (1,-1) और (3,5) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ?यहाँ x1 = 1 , x2 = 3 y1 = -1 , y2 = 5 सरल रेखा के समीकरण सूत्र से - y - y1 = y2 - y1 / x2 - x1 (x - x1)y - y1 = y2 - y1 / x2 - x1 (x - x1)y - (-1) = 5 - (-1) / 3 - 1 (x - 1)y + 1 = 5 + 1 / 2 (x - 1)-3x + y + 4 = 0 (4) एक रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष और y-अक्ष से क्रमशः -3 और 2 के अंत: खंड बनाती है ?यहाँ a = -3 और b = 2 अंत: खंड रूप से रेखा का समीकरण - x / a +y / b = 1x / -3 +y / 2 = 1-2x + 3y / 6 = 12x - 3y + 6 = 0 (5) बिंदु (3,-5) की रेखा 3x - 4y - 26 = 0 से दूरी ज्ञात कीजिए ?रेखा 3x - 4y - 26 = 0 d = | Ax1+By1+C | / √ A2 + B2 d = | 3(3) + (-4)(-5) - 26 | / √ 32 + (-4)2 d = | 9 + 20 - 26 | / √ 9 + 16 d = 3 / 5 (6) समांतर रेखाओं 3x - 4y + 7 = 0 और 3x - 4y + 5 = 0 के बीच कि दूरी ज्ञात कीजिए ?यहाँ A = 3 , b = -4 , c1 = 7 और c2 = 5 दोनों समांतर रेखाओं के बीच कि दूरी - d = | c1 - c2 | / √ A2 + B2 d = | 7 - 5 | / √ 32 + (-4)2 d = 2 / 5 इकाईसरल रेखा के सभी सूत्र ( Straight Line All Formulas ) :-1. दो रेखाएँ समांतर होती है यदि और केवल यदि उनके ढाल समान है 2. दो रेखाएँ लम्ब होती है यदि और केवल यदि उनके ढालों का गुणनफल -1 है | 3. तीन बिंदु A, B और C संरेख होते है यदि और केवल यदि 4. x-अक्ष से a दूरी पर स्थित क्षेतिज रेखा का समीकरण या तो y = a या y = -a है | 5. y-अक्ष से b दूरी पर स्थित ऊर्ध्वाधर रेखा का समीकरण या तो x = b या x = -b है | 6. स्थिर बिंदु (x0 , y0) से जाने वाली और ढाल m वाली रेखा पर बिंदु (x,y) स्थिर होगा यदि और केवल यदि इसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते है 7. बिन्दुओं (x1 , y1) और (x2 , y2) से जाने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार है y - y1 = y2 - y1 / x2 - x1 (x - x1)8. ढाल m और y- अंत: खंड c वाली रेखा पर बिंदु (x,y) होगा यदि और केवल यदि 9. यदि ढाल m वाली रेखा x- अंत खंड d बनाती है तो रेखा का समीकरण 10. x और y अक्षों से क्रमशः a और b अंत: खंड बनाने वाली रेखा का समीकरण x / a +y / b = 111. मूल बिंदु से लाम्बिक दूरी p और इस लम्ब तथा धन x-अक्ष के बीच ω कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण 12. यदि A और B एक साथ शून्य न हो तो Ax + By + C = 0 के रूप का कोई समीकरण रेखा का व्यापक रैखिक समीकरण या रेखा का व्यापक समीकरण कहलाता है सरल रेखा का समीकरण क्या होता है?लम्ब रूप में सरल रेखा का समीकरण क्या है? (What is the equation of straight line in normal form?)- उत्तर:-(i) x cos α + y sin α = p के रूप में सरल रेखा के समीकरण को उसका लम्ब रूप कहा जाता है।
सरल रेखा क्या दर्शाती है?सरल रेखा गणित में शून्य चौड़ाई वाला अनन्त लम्बाई वाला एक आदर्श वक्र होता है, यूक्लिडीय ज्यामिति (Euclidean Geometry) के अन्तर्गत दो बिन्दुओं से होकर एक और केवल एक ही रेखा जा सकती है। एक सरल रेखा दो बिदुओं के बीच की लघतुत्तम दूरी प्रदर्शित करती है। सरल रेखा बिन्दुओं का सरलतम बिन्दुपथ होता है।
सरल रेखा कितने प्रकार की होती है?चार प्रकार की लाइनें हैं: क्षैतिज रेखा, ऊर्ध्वाधर रेखा, लंबवत और समानांतर रेखाएं।
सरल रेखा के अनुदिश गति को क्या कहते हैं?सरल रेखा के अनुदिश गति को वर्तल गति कहते है (सत्याअसत्य)
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