आप कैसे पता लगाते हैं कि कोई संख्या परिमेय है या अपरिमेय? - aap kaise pata lagaate hain ki koee sankhya parimey hai ya aparimey?

इस लेख की सामग्री के बारे में प्रारंभिक जानकारी है तर्कहीन संख्या. सबसे पहले, हम अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा देंगे और इसकी व्याख्या करेंगे। यहाँ अपरिमेय संख्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। अंत में, आइए यह पता लगाने के कुछ तरीकों को देखें कि दी गई संख्या अपरिमेय है या नहीं।

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अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा और उदाहरण

दशमलव भिन्नों के अध्ययन में, हमने अलग-अलग अनंत गैर-आवधिक दशमलव भिन्नों पर विचार किया। ऐसे अंश उन खंडों की लंबाई के दशमलव माप में उत्पन्न होते हैं जो एक खंड के साथ असंगत हैं। हमने यह भी नोट किया कि अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है (साधारण भिन्नों का दशमलव में रूपांतरण देखें और इसके विपरीत), इसलिए, ये संख्याएँ परिमेय संख्याएँ नहीं हैं, वे तथाकथित अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करती हैं।

तो हम आ गए अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा.

परिभाषा।

वे संख्याएँ जो दशमलव संकेतन में अनंत अनावर्ती दशमलव भिन्नों का प्रतिनिधित्व करती हैं, कहलाती हैं तर्कहीन संख्या.

लग रही परिभाषा लाने की अनुमति देता है अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण. उदाहरण के लिए, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश 4.10110011100011110000… (एक और शून्य की संख्या हर बार एक से बढ़ जाती है) एक अपरिमेय संख्या है। आइए एक अपरिमेय संख्या का एक और उदाहरण दें: −22.353335333335 ... (आठ को अलग करने वाले त्रिक की संख्या हर बार दो से बढ़ जाती है)।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अपरिमेय संख्याएं अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों के रूप में काफी दुर्लभ हैं। आमतौर पर वे रूप, आदि के साथ-साथ विशेष रूप से पेश किए गए अक्षरों के रूप में पाए जाते हैं। इस तरह के अंकन में अपरिमेय संख्याओं के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण दो का अंकगणितीय वर्गमूल हैं, संख्या "pi" =3.141592..., संख्या e=2.718281... और स्वर्ण संख्या।

अपरिमेय संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जो परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को जोड़ती हैं।

परिभाषा।

तर्कहीन संख्यावास्तविक संख्याएँ हैं जो परिमेय नहीं हैं।

क्या यह संख्या अपरिमेय है?

जब किसी संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में नहीं, बल्कि एक निश्चित मूल, लघुगणक आदि के रूप में दिया जाता है, तो कई मामलों में इस प्रश्न का उत्तर देना काफी कठिन होता है कि क्या यह अपरिमेय है।

निस्संदेह, पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने में, यह जानना बहुत उपयोगी है कि कौन सी संख्याएँ अपरिमेय नहीं हैं। अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि परिमेय संख्याएँ अपरिमेय संख्याएँ नहीं होती हैं। इस प्रकार, अपरिमेय संख्याएँ नहीं हैं:

• परिमित और अनंत आवधिक दशमलव अंश।

साथ ही, अंकगणितीय संक्रियाओं (+, -, ·, :) के संकेतों से जुड़ी परिमेय संख्याओं का कोई भी संयोजन एक अपरिमेय संख्या नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल एक परिमेय संख्या होती है। उदाहरण के लिए, व्यंजकों के मान और परिमेय संख्याएँ हैं। यहाँ हम देखते हैं कि परिमेय संख्याओं के ऐसे व्यंजकों में यदि एक अपरिमेय संख्या है, तो संपूर्ण व्यंजक का मान एक अपरिमेय संख्या होगी। उदाहरण के लिए, व्यंजक में, संख्या अपरिमेय है, और शेष संख्याएँ परिमेय हैं, इसलिए, अपरिमेय संख्या। यदि यह एक परिमेय संख्या होती, तो इससे संख्या की तर्कसंगतता का अनुसरण होता, लेकिन यह परिमेय नहीं है।

यदि दी गई संख्या के व्यंजक में कई अपरिमेय संख्याएँ, मूल चिह्न, लघुगणक, त्रिकोणमितीय फलन, संख्याएँ , e, आदि हैं, तो प्रत्येक विशिष्ट मामले में दी गई संख्या की अपरिमेयता या तर्कसंगतता को सिद्ध करना आवश्यक है। हालांकि, पहले से ही प्राप्त कई परिणाम हैं जिनका उपयोग किया जा सकता है। आइए मुख्य सूची दें।

यह सिद्ध होता है कि एक पूर्णांक का k-वें मूल एक परिमेय संख्या है, यदि मूल के नीचे की संख्या किसी अन्य पूर्णांक की k-वीं घात है, अन्य मामलों में ऐसा मूल एक अपरिमेय संख्या को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ और अपरिमेय हैं, क्योंकि ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग 7 है, और कोई पूर्णांक नहीं है जिसकी पाँचवीं घात से संख्या 15 प्राप्त होती है। और संख्याएँ और अपरिमेय नहीं हैं, क्योंकि तथा ।

लघुगणक के लिए, कभी-कभी विरोधाभास द्वारा उनकी तर्कहीनता को साबित करना संभव है। उदाहरण के लिए, आइए सिद्ध करें कि log 2 3 एक अपरिमेय संख्या है।

मान लें कि log 2 3 एक परिमेय संख्या है, अपरिमेय संख्या नहीं है, अर्थात इसे एक साधारण भिन्न m/n के रूप में दर्शाया जा सकता है। और हमें समानता की निम्नलिखित श्रृंखला लिखने की अनुमति दें: . अंतिम समानता असंभव है, क्योंकि इसके बाईं ओर विषम संख्या, और यहाँ तक कि दाईं ओर। तो हम एक विरोधाभास पर आए, जिसका अर्थ है कि हमारी धारणा गलत निकली, और यह साबित करता है कि लॉग 2 3 एक अपरिमेय संख्या है।

ध्यान दें कि किसी भी सकारात्मक और गैर-इकाई परिमेय के लिए lna एक अपरिमेय संख्या है। उदाहरण के लिए, और अपरिमेय संख्याएँ हैं।

यह भी सिद्ध होता है कि किसी भी शून्येतर परिमेय a के लिए संख्या e एक अपरिमेय होती है, और किसी भी शून्येतर पूर्णांक z के लिए संख्या z अपरिमेय होती है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ अपरिमेय हैं।

तर्क के किसी भी तर्कसंगत और गैर-शून्य मान के लिए अपरिमेय संख्याएं भी त्रिकोणमितीय कार्य sin , cos , tg और ctg हैं। उदाहरण के लिए, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , अपरिमेय संख्याएं हैं।

अन्य सिद्ध परिणाम हैं, लेकिन हम खुद को पहले से सूचीबद्ध लोगों तक ही सीमित रखेंगे। यह भी कहा जाना चाहिए कि उपरोक्त परिणामों को सिद्ध करने में से जुड़े सिद्धांत बीजीय संख्याऔर उत्कृष्ट संख्या.

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि किसी को दी गई संख्याओं की अपरिमेयता के बारे में जल्दबाजी में निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट प्रतीत होता है कि अपरिमेय संख्या से अपरिमेय संख्या एक अपरिमेय संख्या है। हालांकि, यह मामला हमेशा नहीं होता है। आवाज उठाई गई तथ्य की पुष्टि के रूप में, हम डिग्री प्रस्तुत करते हैं। यह ज्ञात है कि - एक अपरिमेय संख्या, और यह भी साबित हुआ कि - एक अपरिमेय संख्या, लेकिन - एक परिमेय संख्या। आप अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण भी दे सकते हैं, जिनका योग, अंतर, गुणनफल और भागफल परिमेय संख्याएँ हैं। इसके अलावा, π+e , π−e , π e , , e और कई अन्य संख्याओं की तर्कसंगतता या अपरिमेयता अभी तक सिद्ध नहीं हुई है।

ग्रंथ सूची।

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• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता।- एम।; उच्चतर स्कूल, 1984.-351 पी।, बीमार।

अपरिमेय संख्या- यह वास्तविक संख्या, जो परिमेय नहीं है, अर्थात्, एक भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां पूर्णांक हैं। एक अपरिमेय संख्या को एक अनंत गैर-दोहराव वाले दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बिना छायांकन के बड़े लैटिन अक्षर से बोल्ड किया जाता है। इस प्रकार: , अर्थात्। अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय का अंतर।

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व पर, अधिक सटीक रूप से खंड, इकाई लंबाई के एक खंड के साथ अतुलनीय, प्राचीन गणितज्ञों द्वारा पहले से ही ज्ञात थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण की असंगति और वर्ग की भुजा, जो संख्या की अपरिमेयता के बराबर है।

गुण

• किसी भी वास्तविक संख्या को अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है, जबकि अपरिमेय संख्याएं और केवल उन्हें गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंश के रूप में लिखा जाता है।
• अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं के समुच्चय में डेडेकाइंड कटौती को परिभाषित करती हैं, जिनकी निम्न वर्ग में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं होती है और उच्च वर्ग में कोई छोटी संख्या नहीं होती है।
• प्रत्येक वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय होती है।
• प्रत्येक अपरिमेय संख्या या तो बीजीय या अनुवांशिक होती है।
• अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक रेखा पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है।
• अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय का क्रम वास्तविक अनुवांशिक संख्याओं के समुच्चय के क्रम के समरूपी है।
• अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है, दूसरी श्रेणी का समुच्चय है।

उदाहरण

तर्कहीन संख्या
- (3) - 2 - √3 - √5 - - - - -

तर्कहीन हैं:

तर्कहीनता प्रमाण उदाहरण

2 . की जड़

इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात्, इसे एक इरेड्यूसबल अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां एक पूर्णांक है, और एक प्राकृतिक संख्या है। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम, इसलिए, सम और । चलो जहां पूरे। फिर

इसलिए, सम, इसलिए, सम और । हमने वह प्राप्त कर लिया है और सम है, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसलिए, मूल धारणा गलत थी, और एक अपरिमेय संख्या है।

संख्या 3 . का बाइनरी लॉगरिदम

इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात इसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और सकारात्मक लिया जा सकता है। फिर

लेकिन यह स्पष्ट है, यह अजीब है। हमें एक विरोधाभास मिलता है।

इ

कहानी

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में निहित रूप से अपनाया गया था, जब मनावा (सी। 750 ईसा पूर्व - सी। 690 ईसा पूर्व) ने पाया कि 2 और 61 जैसी कुछ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (सी। 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, एक पाइथागोरस जिसने एक पेंटाग्राम के पक्षों की लंबाई का अध्ययन करके इस प्रमाण को पाया। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई पर्याप्त रूप से छोटी और अविभाज्य होती है, जो किसी भी खंड में शामिल कई बार पूर्णांक होती है। हालांकि, हिप्पसस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण में इकाई खंडों की एक पूर्णांक संख्या होती है, तो यह संख्या एक ही समय में सम और विषम दोनों होनी चाहिए। सबूत इस तरह दिखता था:

• एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ पे एऔर बीसबसे छोटा संभव के रूप में चुना गया।
• पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए= 2 बी².
• जैसा एमैं भी, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
• जहां तक ​​कि ए:बीअलघुकरणीय बीविषम होना चाहिए।
• जैसा एसम, निरूपित ए = 2आप.
• फिर ए= 4 आप= 2 बी².
• बी= 2 आप, इसलिए बीसम है, तो बीयहाँ तक की।
• हालांकि, यह साबित हो गया है कि बीअजीब। अंतर्विरोध।

यूनानी गणितज्ञों ने अतुलनीय मात्राओं के इस अनुपात को कहा है अलोगोस(अव्यक्त), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार, हिप्पसस को उचित सम्मान नहीं दिया गया था। एक किंवदंती है कि हिप्पसस ने समुद्री यात्रा के दौरान खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए" पानी में फेंक दिया गया था, जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया जा सकता है। " हिप्पसस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या पेश की, जिसने पूरे सिद्धांत में अंतर्निहित धारणा को नष्ट कर दिया कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एक और अविभाज्य हैं।

इकाई लंबाई के एक खंड के साथ, प्राचीन गणितज्ञ पहले से ही जानते थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण की असंगति और वर्ग की भुजा, जो संख्या की अपरिमेयता के बराबर है।

तर्कहीन हैं:

तर्कहीनता प्रमाण उदाहरण

2 . की जड़

इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात्, इसे एक अपरिमेय अंश के रूप में दर्शाया गया है, जहां और पूर्णांक हैं। आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सम, इसलिए, सम और । चलो जहां पूरे। फिर

इसलिए, सम, इसलिए, सम और । हमने वह प्राप्त कर लिया है और सम है, जो भिन्न की अपरिवर्तनीयता का खंडन करता है। इसलिए, मूल धारणा गलत थी, और एक अपरिमेय संख्या है।

संख्या 3 . का बाइनरी लॉगरिदम

इसके विपरीत मान लें: यह परिमेय है, अर्थात इसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, जहां और पूर्णांक हैं। चूंकि, और सकारात्मक लिया जा सकता है। फिर

लेकिन यह स्पष्ट है, यह अजीब है। हमें एक विरोधाभास मिलता है।

इ

कहानी

अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में निहित रूप से अपनाया गया था, जब मनावा (सी। 750 ईसा पूर्व - सी। 690 ईसा पूर्व) ने पाया कि 2 और 61 जैसी कुछ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (सी। 500 ईसा पूर्व) को दिया जाता है, एक पाइथागोरस जिसने एक पेंटाग्राम के पक्षों की लंबाई का अध्ययन करके इस प्रमाण को पाया। पाइथागोरस के समय में, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई पर्याप्त रूप से छोटी और अविभाज्य होती है, जो किसी भी खंड में शामिल कई बार पूर्णांक होती है। हालांकि, हिप्पसस ने तर्क दिया कि लंबाई की कोई एक इकाई नहीं है, क्योंकि इसके अस्तित्व की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है। उन्होंने दिखाया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण में इकाई खंडों की एक पूर्णांक संख्या होती है, तो यह संख्या एक ही समय में सम और विषम दोनों होनी चाहिए। सबूत इस तरह दिखता था:

• एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और पैर की लंबाई के अनुपात को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है ए:बी, कहाँ पे एऔर बीसबसे छोटा संभव के रूप में चुना गया।
• पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: ए= 2 बी².
• जैसा एमैं भी, एसम होना चाहिए (क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होगा)।
• जहां तक ​​कि ए:बीअलघुकरणीय बीविषम होना चाहिए।
• जैसा एसम, निरूपित ए = 2आप.
• फिर ए= 4 आप= 2 बी².
• बी= 2 आप, इसलिए बीसम है, तो बीयहाँ तक की।
• हालांकि, यह साबित हो गया है कि बीअजीब। अंतर्विरोध।

यूनानी गणितज्ञों ने अतुलनीय मात्राओं के इस अनुपात को कहा है अलोगोस(अव्यक्त), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार, हिप्पसस को उचित सम्मान नहीं दिया गया था। एक किंवदंती है कि हिप्पसस ने समुद्री यात्रा के दौरान खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए" पानी में फेंक दिया गया था, जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया जा सकता है। " हिप्पसस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या पेश की, जिसने पूरे सिद्धांत में अंतर्निहित धारणा को नष्ट कर दिया कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एक और अविभाज्य हैं।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर एक बड़े लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है मैं (\displaystyle \mathbb (I))बोल्ड में बिना फिल के। इस प्रकार: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q))अर्थात् अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक और परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच का अंतर है।

अपरिमेय संख्याओं का अस्तित्व, अधिक सटीक रूप से खंड जो इकाई लंबाई के एक खंड के साथ अतुलनीय हैं, प्राचीन गणितज्ञों के लिए पहले से ही ज्ञात थे: वे जानते थे, उदाहरण के लिए, विकर्ण और वर्ग के पक्ष की असंगति, जो तर्कहीनता के बराबर है संख्या का।

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  तर्कहीन हैं:

  तर्कहीनता प्रमाण उदाहरण

  2 . की जड़

  आइए इसके विपरीत कहें: 2 (\displaystyle (\sqrt (2)))परिमेय, अर्थात्, भिन्न के रूप में दर्शाया गया है एम एन (\displaystyle (\frac (एम)(एन))), कहाँ पे एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम)एक पूर्णांक है, और n (\displaystyle n)- प्राकृतिक संख्या ।

  आइए अनुमानित समानता का वर्ग करें:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  कहानी

  प्राचीन काल

  अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा को भारतीय गणितज्ञों द्वारा 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व में अपनाया गया था, जब मनावा (सी। 750 ईसा पूर्व - सी। 690 ईसा पूर्व) ने पाया कि 2 और 61 जैसी कुछ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है [ ] .

  अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण आमतौर पर मेटापोंटस के हिप्पासस (सी। 500 ईसा पूर्व), एक पाइथागोरस को जिम्मेदार ठहराया जाता है। पाइथागोरस के समय, यह माना जाता था कि लंबाई की एक इकाई पर्याप्त रूप से छोटी और अविभाज्य है, जो किसी भी खंड में शामिल होने की एक पूर्णांक संख्या है [ ] .

  हिप्पसस द्वारा किस संख्या को सिद्ध किया गया था, इस पर कोई सटीक डेटा नहीं है। किंवदंती के अनुसार, उन्होंने इसे पेंटाग्राम के किनारों की लंबाई का अध्ययन करके पाया। इसलिए, यह मान लेना उचित है कि यह स्वर्णिम अनुपात था [ ] .

  यूनानी गणितज्ञों ने अतुलनीय मात्राओं के इस अनुपात को कहा है अलोगोस(अव्यक्त), लेकिन किंवदंतियों के अनुसार, हिप्पसस को उचित सम्मान नहीं दिया गया था। एक किंवदंती है कि हिप्पसस ने समुद्री यात्रा के दौरान खोज की थी और अन्य पाइथागोरस द्वारा "ब्रह्मांड का एक तत्व बनाने के लिए" पानी में फेंक दिया गया था, जो इस सिद्धांत से इनकार करता है कि ब्रह्मांड में सभी संस्थाओं को पूर्ण संख्या और उनके अनुपात में घटाया जा सकता है। " हिप्पसस की खोज ने पाइथागोरस गणित के लिए एक गंभीर समस्या पेश की, जिसने इस पूरे सिद्धांत को नष्ट कर दिया कि संख्याएं और ज्यामितीय वस्तुएं एक और अविभाज्य हैं।

  परिमेय संख्याएक साधारण भिन्न m/n द्वारा निरूपित एक संख्या है, जहाँ अंश m एक पूर्णांक है और हर n एक प्राकृत संख्या है। किसी भी परिमेय संख्या को आवधिक अनंत दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है। परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q द्वारा निरूपित किया जाता है।

  यदि कोई वास्तविक संख्या परिमेय नहीं है, तो वह है अपरिमेय संख्या. अपरिमेय संख्याओं को व्यक्त करने वाली दशमलव भिन्न अनंत होती हैं, आवर्त नहीं। अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर बड़े लैटिन अक्षर I द्वारा दर्शाया जाता है।

  वास्तविक संख्या कहलाती है बीजगणितीय, यदि यह परिमेय गुणांकों वाले कुछ बहुपद (गैर-शून्य डिग्री) का मूल है। कोई भी गैर-बीजीय संख्या कहलाती है उत्कृष्ट.

  कुछ गुण:

  परिमेय संख्याओं का समुच्चय संख्या अक्ष पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कम से कम एक परिमेय संख्या होती है (और इसलिए परिमेय संख्याओं का एक अनंत समुच्चय)। फिर भी, यह पता चला है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q और प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N समतुल्य हैं, अर्थात, उनके बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है (परिमेय संख्याओं के समुच्चय के सभी तत्वों को फिर से क्रमांकित किया जा सकता है) .

  परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q जोड़, घटाव, गुणा और भाग के अंतर्गत बंद होता है, अर्थात दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल भी परिमेय संख्याएँ होती हैं।

  सभी परिमेय संख्याएँ बीजीय हैं (विपरीत सत्य नहीं है)।

  प्रत्येक वास्तविक पारलौकिक संख्या अपरिमेय होती है।

  प्रत्येक अपरिमेय संख्या या तो बीजीय या अनुवांशिक होती है।

  अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय वास्तविक रेखा पर हर जगह सघन होता है: किन्हीं दो संख्याओं के बीच एक अपरिमेय संख्या होती है (और इसलिए अपरिमेय संख्याओं का एक अनंत सेट)।

  अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है।

  समस्याओं को हल करते समय, यह सुविधाजनक है, साथ में अपरिमेय संख्या a + b√ c (जहाँ a, b परिमेय संख्याएँ हैं, c एक पूर्णांक है जो एक प्राकृतिक संख्या का वर्ग नहीं है), संख्या "संयुग्म" पर विचार करने के लिए यह a - b√ c: इसका योग और मूल - परिमेय संख्याओं के साथ गुणनफल। तो a + b√ c और a – b√ c पूर्णांक गुणांक वाले द्विघात समीकरण के मूल हैं।

  समाधान के साथ समस्या

  1. सिद्ध कीजिए कि

  ए) संख्या 7;

  बी) संख्या एलजी 80;

  ग) संख्या 2 + 3 3;

  तर्कहीन है।

  a) मान लें कि संख्या 7 परिमेय है। फिर, ऐसे सह अभाज्य p और q हैं कि 7 = p/q, जहाँ से हमें p 2 = 7q 2 प्राप्त होता है। चूँकि p और q सहअभाज्य हैं, तो p 2, और इसलिए p, 7 से विभाज्य है। तब р = 7k, जहाँ k कोई प्राकृत संख्या है। अतः q 2 = 7k 2 = pk, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि p और q सहअभाज्य हैं।

  तो, धारणा गलत है, इसलिए संख्या 7 अपरिमेय है।

  b) मान लें कि संख्या lg 80 परिमेय है। फिर प्राकृतिक p और q ऐसे हैं कि lg 80 = p/q, या 10 p = 80 q, जहाँ से हमें 2 p–4q = 5 q–p मिलता है। यह ध्यान में रखते हुए कि संख्याएँ 2 और 5 सहअभाज्य हैं, हम पाते हैं कि अंतिम समानता केवल p–4q = 0 और q–p = 0 के लिए संभव है। जहाँ से p = q = 0, जो असंभव है, क्योंकि p और q हैं प्राकृतिक होने के लिए चुना।

  तो, धारणा गलत है, इसलिए lg 80 की संख्या अपरिमेय है।

  ग) आइए इस संख्या को x से निरूपित करें।

  फिर (x - 2) 3 \u003d 3, या x 3 + 6x - 3 \u003d 2 (3x 2 + 2)। इस समीकरण का वर्ग करने के बाद, हम पाते हैं कि x को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए

  x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0।

  इसकी परिमेय जड़ें केवल संख्या 1 और -1 हो सकती हैं। चेक से पता चलता है कि 1 और -1 मूल नहीं हैं।

  अतः दी गई संख्या 2 + 3 3 अपरिमेय है।

  2. यह ज्ञात है कि संख्याएँ a, b, ए -√ बी,- विवेकी। साबित करो ए और √ बीपरिमेय संख्याएँ भी हैं।

  उत्पाद पर विचार करें

  (ए - √ बी) (√ ए + √ बी) = ए - बी।

  संख्या ए + √ बी,जो संख्या a - b और के अनुपात के बराबर है ए -√ बी,परिमेय है क्योंकि दो परिमेय संख्याओं का भागफल एक परिमेय संख्या होती है। दो परिमेय संख्याओं का योग

  ½ (√ a + b) + ½ (√ a - b) = a

  एक परिमेय संख्या है, उनका अंतर,

  ½ (√ ए + √ बी) - ½ (√ ए - √ बी) = √ बी,

  एक परिमेय संख्या भी है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

  3. सिद्ध कीजिए कि धनात्मक अपरिमेय संख्याएँ a और b हैं जिनके लिए संख्या a b प्राकृत है।

  

  4. क्या परिमेय संख्याएँ a, b, c, d हैं जो समानता को संतुष्ट करती हैं?

  (ए+बी 2 ) 2एन + (सी + डी√ 2 ) 2एन = 5 + 4√ 2,

  जहाँ n एक प्राकृत संख्या है?

  यदि शर्त में दी गई समानता संतुष्ट है, और संख्याएँ a, b, c, d परिमेय हैं, तो समानता भी संतुष्ट होती है:

  (ए-बी 2 ) 2n + (c - d√ 2) 2n = 5 - 4√ 2.

  लेकिन 5 - 4√ 2 (a - b√ 2 ) 2n + (c - d√ 2) 2n > 0. परिणामी अंतर्विरोध साबित करता है कि मूल समानता असंभव है।

  उत्तर: वे मौजूद नहीं हैं।

  5. यदि लंबाई a, b, c वाले खंड एक त्रिभुज बनाते हैं, तो सभी n = 2, 3, 4, के लिए। . . लंबाई n a , n b , n √ c वाले खंड भी एक त्रिभुज बनाते हैं। इसे साबित करो।

  यदि लंबाई a, b, c वाले खंड एक त्रिभुज बनाते हैं, तो त्रिभुज असमानता देता है

  इसलिए हमारे पास है

  (एन √ ए + एन √ बी) एन> ए + बी> सी = (एन √ सी) एन,

  एन √ ए + एन √ बी > एन √ सी।

  त्रिभुज असमानता की जाँच के शेष मामलों को इसी तरह माना जाता है, जिससे निष्कर्ष निकलता है।

  6. सिद्ध कीजिए कि अनंत दशमलव भिन्न 0.1234567891011121314... (सभी प्राकृत संख्याएँ दशमलव बिंदु के बाद क्रम में हैं) एक अपरिमेय संख्या है।

  जैसा कि आप जानते हैं, परिमेय संख्याओं को दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिनकी अवधि एक निश्चित चिह्न से शुरू होती है। इसलिए, यह साबित करना पर्याप्त है कि यह अंश किसी भी चिन्ह के साथ आवधिक नहीं है। मान लीजिए कि यह मामला नहीं है, और कुछ अनुक्रम T, जिसमें n अंक हैं, एक भिन्न की अवधि है, जो दशमलव के mवें स्थान से शुरू होती है। यह स्पष्ट है कि mवें अंक के बाद गैर-शून्य अंक होते हैं, इसलिए अंक T के क्रम में एक गैर-शून्य अंक होता है। इसका मतलब यह है कि दशमलव बिंदु के बाद एम-वें अंक से शुरू होकर, एक पंक्ति में किसी भी n अंकों के बीच एक गैर-शून्य अंक होता है। हालाँकि, इस भिन्न के दशमलव संकेतन में, संख्या 100...0 = 10 k के लिए दशमलव संकेतन होना चाहिए, जहाँ k > m और k > n। यह स्पष्ट है कि यह प्रविष्टि m-वें अंक के दाईं ओर होगी और इसमें एक पंक्ति में n से अधिक शून्य होंगे। इस प्रकार, हम एक विरोधाभास प्राप्त करते हैं, जो प्रमाण को पूरा करता है।

  7. एक अनंत दशमलव भिन्न 0,a 1 a 2 ... दिया गया है। सिद्ध कीजिए कि इसके दशमलव अंकन के अंकों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है कि परिणामी भिन्न एक परिमेय संख्या को व्यक्त करे।

  याद रखें कि एक भिन्न एक परिमेय संख्या को व्यक्त करता है यदि और केवल अगर यह आवर्त है, तो किसी चिन्ह से शुरू होकर। हम 0 से 9 तक की संख्याओं को दो वर्गों में विभाजित करते हैं: पहली श्रेणी में हम उन संख्याओं को शामिल करते हैं जो मूल भिन्न में एक सीमित संख्या में आती हैं, दूसरी श्रेणी में - वे जो मूल भिन्न में अनंत बार आती हैं। आइए एक आवधिक अंश लिखना शुरू करें, जिसे अंकों के मूल क्रमपरिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है। सबसे पहले, शून्य और अल्पविराम के बाद, हम प्रथम श्रेणी से सभी संख्याओं को यादृच्छिक क्रम में लिखते हैं - प्रत्येक जितनी बार मूल भिन्न की प्रविष्टि में होती है। लिखे गए प्रथम श्रेणी के अंक दशमलव के भिन्नात्मक भाग में अवधि से पहले होंगे। इसके बाद, हम दूसरी कक्षा की संख्याओं को एक बार किसी क्रम में लिखते हैं। हम इस संयोजन को एक अवधि घोषित करेंगे और इसे अनंत बार दोहराएंगे। इस प्रकार, हमने कुछ परिमेय संख्याओं को व्यक्त करते हुए आवश्यक आवर्त भिन्न को लिखा है।

  8. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक अपरिमित दशमलव भिन्न में मनमानी लंबाई के दशमलव अंकों का एक क्रम होता है, जो भिन्न के विस्तार में अपरिमित रूप से कई बार आता है।

  मान लीजिए m एक मनमाना रूप से दी गई प्राकृत संख्या है। आइए इस अनंत दशमलव अंश को खंडों में विभाजित करें, प्रत्येक में एम अंकों के साथ। असीम रूप से ऐसे कई खंड होंगे। दूसरी ओर, केवल 10 m विभिन्न प्रणालियाँ हैं जिनमें m अंक हैं, अर्थात्, एक परिमित संख्या। नतीजतन, इनमें से कम से कम एक सिस्टम को यहां असीमित रूप से कई बार दोहराया जाना चाहिए।

  टिप्पणी। अपरिमेय संख्याओं के लिए √ 2 , or इहम यह भी नहीं जानते कि कौन से अंक को अनंत दशमलव में कई बार दोहराया जाता है जो उनका प्रतिनिधित्व करते हैं, हालांकि इनमें से प्रत्येक संख्या को आसानी से कम से कम दो अलग-अलग अंक शामिल करने के लिए दिखाया जा सकता है।

  9. प्राथमिक रूप से सिद्ध कीजिए कि समीकरण का धनात्मक मूल

  तर्कहीन है।

  x> 0 के लिए, समीकरण का बायां पक्ष x के साथ बढ़ता है, और यह देखना आसान है कि x = 1.5 पर यह 10 से कम है, और x = 1.6 पर यह 10 से अधिक है। इसलिए, इसका एकमात्र सकारात्मक मूल है समीकरण अंतराल (1.5; 1.6) के अंदर है।

  हम मूल को अपरिमेय भिन्न p/q के रूप में लिखते हैं, जहाँ p और q कुछ सहअभाज्य प्राकृत संख्याएँ हैं। फिर, x = p/q के लिए, समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

  पी 5 + पीक्यू 4 = 10क्यू 5,

  जहाँ से यह पता चलता है कि p 10 का भाजक है, इसलिए, p संख्या 1, 2, 5, 10 में से एक के बराबर है। हालाँकि, अंशों को 1, 2, 5, 10 के साथ लिखने पर, हम तुरंत ध्यान देते हैं कि इनमें से कोई भी संख्या नहीं है। वे अंतराल के अंदर आते हैं (1.5; 1.6)।

  इसलिए, मूल समीकरण के धनात्मक मूल को एक साधारण भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह एक अपरिमेय संख्या है।

  10. क) क्या तल पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि किसी बिंदु X के लिए खण्ड XA, XB और XC में से कम से कम एक की लंबाई अपरिमेय है?

  b) त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक परिमेय होते हैं। सिद्ध कीजिए कि इसके परिबद्ध वृत्त के केंद्र के निर्देशांक भी परिमेय होते हैं।

  ग) क्या कोई ऐसा गोला है जिस पर ठीक एक परिमेय बिंदु है? (परिमेय बिंदु वह बिंदु है जिसके लिए तीनों कार्तीय निर्देशांक परिमेय संख्याएँ हैं।)

  क) हाँ, वहाँ हैं। मान लीजिए C खंड AB का मध्यबिंदु है। तब XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2)/2। यदि संख्या AB 2 अपरिमेय है, तो संख्याएँ XA, XB और XC एक ही समय पर परिमेय नहीं हो सकती हैं।

  b) माना (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) और (a 3 ; b 3) त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक हैं। इसके परिबद्ध वृत्त के केंद्र के निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली द्वारा दिए गए हैं:

  (x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

  (x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 \u003d (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2।

  यह जांचना आसान है कि ये समीकरण रैखिक हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरणों की मानी गई प्रणाली का समाधान तर्कसंगत है।

  ग) ऐसा क्षेत्र मौजूद है। उदाहरण के लिए, समीकरण वाला एक गोला

  (x - 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2।

  निर्देशांक के साथ बिंदु O (0; 0; 0) इस गोले पर स्थित एक परिमेय बिंदु है। गोले के शेष बिंदु अपरिमेय हैं। आइए इसे साबित करें।

  इसके विपरीत मान लें: मान लीजिए (x; y; z) गोले का एक परिमेय बिंदु है, जो बिंदु O से भिन्न है। यह स्पष्ट है कि x 0 से भिन्न है, क्योंकि x = 0 के लिए एक अद्वितीय हल है (0; 0 ; 0), जिसमें अब हम रुचि नहीं ले सकते। आइए कोष्ठकों का विस्तार करें और √ 2 व्यक्त करें:

  x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

  2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

  जो परिमेय x, y, z और अपरिमेय 2 के लिए नहीं हो सकता। अतः, विचाराधीन गोले पर O(0; 0; 0) एकमात्र परिमेय बिंदु है।

  समाधान के बिना समस्या

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  \[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

  तर्कहीन है।

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