दो संख्याओं का अनुपात कैसे निकालते हैं? - do sankhyaon ka anupaat kaise nikaalate hain?

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दो या दो से अधिक संख्याओं की तुलना करने के लिए हम गणित की जिस विधि या तरीके का इस्तेमाल करते हैं उसे अनुपात (Ratios) कहते हैं। अनुपात पूर्ण मात्रा (quantities) तथा राशि (amounts) की तुलना करने या फिर किसी एक पूरी राशि के भागों की तुलना करने में मदद करता है। अनुपात की गणना करने या इनको लिखने के अलग-अलग तरीके हो सकते हैं परंतु इनका सिद्धांत पूरे विश्व में एक ही है।

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   अनुपात का प्रयोग कैसे किया जाता है: न केवल पढ़ाई अपितु रोजमर्रा की जिंदगी में अलग-अलग राशियों की आपस में तुलना करने के लिए अनुपात की सहायता ली जाती है। सामान्यतः अनुपात की मदद से दो राशियों की तुलना की जाती है परंतु इसके द्वारा तीन या इससे अधिक राशियों की तुलना भी की जा सकती है। किसी भी स्थिति में जब दो या अधिक संख्याओं या राशियों की तुलना की जाती है तो वहाँ अनुपात की उपस्थिति होती है। अनुपात की सहायता से राशियों को एक-दूसरे के संदर्भ में लिखकर रासायनिक फार्मूले तथा रसोई के व्यंजनों आदि को निर्धारित करना, बनाना या फिर उनकी मात्रा को बढ़ाया जा सकता है। एक बार समझकर आप इसे अपनी दिनचर्या के अनेक कामों में शामिल कर सकते हैं। [१]

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   अनुपात का अर्थ: जैसा कि ऊपर बताया गया है, अनुपात कम-से-कम दो राशियों की एक-दूसरे के संदर्भ में तुलना को बताता है। उदाहरण के लिए, एक केक में दो कटोरी आटा तथा एक कटोरी चीनी का मतलब है कि केक में आटे तथा चीनी का अनुपात 2 तथा 1 है।

   • राशियों के आपस में संबंध को दिखाने के लिए अनुपात की मदद ली जा सकती है यहाँ तक कि जब ये राशियाँ आपस में एक-दूसरे से जुड़ी भी न हों (जैसे व्यंजनों में आटा, नमक या चीनी आदि)। उदाहरण के लिए, यदि एक कक्षा में पाँच लड़कियाँ तथा दस लड़के हैं तो लड़कियों तथा लड़कों का अनुपात 5 तथा 10 का होगा। इस उदाहरण में दोनों राशियाँ (लड़कियाँ तथा लड़के) आपस में एक-दूसरे से सीधे-सीधे संबंधित नहीं हैं परंतु दोनों में से किसी की संख्या में परिवर्तन पूरे उत्तर पर प्रभाव डालता है। अर्थात् अनुपात केवल परिमाण पर निर्भर होता है।

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   अनुपात को व्यक्त करना: अनुपात को शब्दों में या फिर गणित के चिह्नों या समीकरणों की तरह भी लिखा जा सकता है।[२]

   • आप आमतौर पर देख सकते हैं कि अनुपात को शब्दों में बताया या लिखा जाता है। क्योंकि इनका उपयोग अलग-अलग जगह पर इतना अधिक किया जाता है इसलिए विज्ञान या फिर गणित के अलावा आप इन्हें शब्दों में ही सबसे अधिक लिखा पायेंगे।
   • अनुपात अक्सर कॉलन (colon) की सहायता से व्यक्त किए जाते हैं: किसी भी अनुपात में जब दो संख्याओं की तुलना की जाती है तो अाप एक कॉलन का प्रयोग करते हैं। जैसे 7 : 13। जब आप दो संख्याओं से अधिक की एक ही बार में तुलना करते हैं तो प्रत्येक अगले सेट के बीच में एक कॉलन का प्रयोग किया जाता है (जैसे 10 : 2 : 23)। अपनी कक्षा के उदाहरण में हम लड़कों तथा लड़कियों की संख्या के अनुपात को 5 लड़कियाँ : 10 लड़के के रूप में दर्शायेंगे। इस अनुपात को सरलता से 5 : 10 भी लिखा जा सकता है।
   • अनुपात कभी-कभी भिन्न (fraction) के रूप में भी लिखे जाते हैं: पिछले उदाहरण में 5 लड़कियों तथा 10 लड़कों के अनुपात को सरलता से 5/10 लिखा जा सकता है। यहाँ पर यह ध्यान रखना है कि इनको इस रूप में पढ़ते समय भिन्न की तरह न पढ़कर अनुपात की तरह पढ़ा जाता है। साथ ही यह भी समझना जरुरी है कि यहाँ पर संख्याएँ किसी पूर्ण संख्या के छोटे भाग के रूप में नहीं दर्शाई जा रही हैं अर्थात् 5 तथा 10 दोनों संख्याएँ सीधे तरीके से एक-दूसरे पर निर्भर नहीं है बल्कि ये दोनों अलग-अलग राशियों को दर्शा रही हैं।

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   अनुपात को सरलतम रूप में बदलना: भिन्न की तरह ही अनुपात को भी कॉमन गुणक अलग कर सरल किया जा सकता है। किसी भी अनुपात को सरल करने के लिए अनुपात के सभी पदों (terms) को कॉमन गुणक से भाग किया जाता है जिससे कि यह उस स्थिति में आ जाये जहाँ पर इसके और अधिक कॉमन गुणक नहीं हो सकें। हाँलांकि एेसा करते समय यह ध्यान रखना जरुरी है कि हम वास्तविक संख्याओं को न भूलें। [३]

   • ऊपर बताये गये कक्षा वाले उदाहरण, 5 लड़कियाँ तथा 10 लड़के (5 : 10), में अनुपात के दोनों ओर 5 कॉमन गुणक है। दोनों ओर 5 (GCF) से भाग करने पर 1 लड़की तथा 2 लड़के (या 1 : 2) प्राप्त होगा। हाँलांकि यहाँ पर हमारे वास्तविक अनुपात को ध्यान में रखना भी आवश्यक है न कि सरल अनुपात को। मसलन कक्षा में कुल 15 बच्चे हैं न कि सिर्फ 3। सरल किया गया अनुपात केवल लड़के अौर लड़कियों की संख्या के बीच संबंध बताता है। प्रत्येक 2 लड़कों पर 1 लड़की है न कि कुल 2 लड़के अौर 1 लड़की।
   • कुछ अनुपात को सरल नहीं किया जा सकता है जैसे 3 : 56। इस अनुपात को सरल नहीं किया जा सकता क्योंकि इन दोनों संख्याओं में 3 एक प्राकृत संख्या है जबकि 56 भी 3 से विभाजित नहीं होता अतः कोई भी कॉमन गुणक नहीं है।

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   गुणा या भाग की सहायता से अनुपात को बराबर करना: बराबर करते समय एक कॉमन समस्या यह आती है कि इन्हें समानुपात में लाने के लिए संख्याओं को किसी कॉमन गुणक से गुणा या भाग किया जाता है। किसी कॉमन संख्या से गुणा अथवा भाग करने से ये समानुपात में आ जाती हैं जबकि वास्तविक अनुपात वैसे ही रहता है। [४]

   • उदाहरण के लिए एक बेकर बने हुए केक का तीन गुना बड़ा केक बनाना चाहता है। यदि सामान्य केक में आटे तथा चीनी का अनुपात 2 तथा 1 (2 : 1) का है तो दोनों ओर की संख्याएँ तीन गुना बढ़ानी होंगी। अर्थात् तीन गुना बड़ा केक बनाने के लिए बेकर को 6 कटोरी आटा और 3 कटोरी चीनी (6 : 3) चाहिए होगी।
   • इसी प्रक्रिया को उल्टा भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए यदि बेकर वास्तविक केक का आधा केक बनाना चाहता है तो उसे आटे तथा चीनी की आधी-आधी मात्रा चाहिए होगी। इसका अर्थ है कि हम दोनों संख्याओं को 1/2 से गुणा (या फिर 2 से भाग) करेंगे। अंततः हमें 1 कटोरी आटा और 1/2 कटोरी (0.5) चीनी चाहिए होगी।

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   दिए हुए दो बराबर अनुपात के लिए अज्ञात चर (unknown variables) पता करना: अनुपात के सवाल हल करते समय एक प्रश्न यह भी पूछा जाता है कि एक अनुपात में उपस्थित अज्ञात चर पता करें जबकि यह अनुपात एक अन्य अनुपात के बराबर है। ऐसे सवालों को हल करने के लिए क्रॉस मल्टीप्लीकेशन (cross multiplication) का तरीका सबसे कारगर है। इस तरीके में दोनों अनुपात को भिन्न के रूप में लिख कर इन्हें आपस में बराबर कर दें तथा अब क्रॉस मल्टीप्लाई करें। [५]

   • उदाहरण के लिए छात्रों के एक समूह में 2 लड़के तथा 5 लड़कियाँ हैंं। इस अनुपात के अनुसार एक कक्षा में लड़कों की संख्या कितनी होगी जबकि उस कक्षा में 20 लड़कियाँ हैंं? इस प्रश्न को हल करने के लिए हम इन्हें समानुपात में इस तरह लिखेंगे - 2 लड़के : 5 लड़कियाँ = x लड़के : 20 लड़कियाँ। अगर हम इन अनुपात को भिन्न की तरह लिखेंगे तो हमें 2/5 और x/20 प्राप्त होगा। अब अगर आप इन्हें क्रॉस मल्टीप्लाई करेंगे तो आपको 5x = 40 प्राप्त होगा। समीकरण में दोनों ओर 5 से भाग देने पर हमें x = 8 मिलेगा।

एक्सपर्ट टिप

ग्रेस इमसन एक मैथ (Math) टीचर हैं जिन्हें 40 वर्ष से अधिक का पढ़ाने का अनुभव है। ग्रेस वर्तमान में City College of SanFrancisco में मैथ इंस्ट्रक्टर हैं और पहले, Saint Louis University के मैथ डिपार्टमेंट में थी। उन्होने एलीमेंट्री, मिडिल, हाइ स्कूल और कॉलेज लेवेल पर मैथ पढ़ाई है। उनके पास, Saint louis University से, एड्मिनिसट्रेशन और सुपरविजन में स्पेशलाइजेशन के साथ, एडुकेशन में MA है।

Grace Imson, MA
मैथ इंस्ट्रक्टर, सिटी कॉलेज ऑफ San Francisco

किसी वर्ड प्रॉब्लम में अंश (numerator) और हर (denominator) का पता लगाने के लिए शब्दों के क्रम को देखें। पहला पद आमतौर पर अंश होता है, और दूसरा आमतौर पर हर होता है। उदाहरण के लिए, यदि क्वेश्चन में किसी वस्तु की लंबाई और उसकी चौड़ाई के अनुपात के लिए पूछती है, तो लंबाई अंश होगी, और चौड़ाई हर होगी

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   रेश्यो की वर्ड प्रॉब्लम्स में जोड़ना/एडिशन (addition) या घटाना/सब्ट्रैक्शन (subtraction) टालें: कई सारी वर्ड या लिखित प्रॉब्लम्स जैसे: एक रेसिपी को बनाने के लिए 4 आलू और 5 गाजर चाहिए। अगर इसकी जगह पर आप 8 आलू यूज़ करना चाहते हैं तो सही रेश्यो को बनाये रखने के लिए कितनी गाजरों का इस्तेमाल करना होगा? बहुत से स्टूडेंट इसमें समान क्वांटिटी यूज़ करने की कोशिश करते हैं। लेकिन यहाँ पर वास्तव में आपको रेश्यो समान रखने के लिए एडिशन नहीं बल्कि मल्टीप्लीकेशन (multiplication) यूज़ करने की जरूरत है। यहाँ पर इसी प्रॉब्लम को हल करने का एक सही और एक गलत एक्साम्पल दिया गया है:

   • गलत मेथड (Wrong method): "8 - 4 = 4, इसलिए मैं ने 4 पोटैटो इस रेसिपी में मिला दिए हैं। इसका मतलब मुझे 5 गाजर लेना चाहिए और इसमें 4 और मिला देना चाहिए...रुकिए! रेश्यो इस तरह से नहीं निकाला जाता है। में फिर से ट्राय करता हूँ।
   • सही तरीका (Right method): "8 ÷ 4 = 2, तो यहाँ मैं ने जितने भी आलू हैं उतनी संख्या को 2 से मल्टीप्लाय कर दिया है। इसका मतलब है मुझे 5 गाजर को भी 2 से मल्टीप्लाय करना होगा। 5 x 2 = 10, मतलब मुझे टोटल इस रेसिपी में 10 गाजर और चाहिए।

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   समान यूनिट्स में बदलें (Convert to the same units): कुछ वर्ड प्रोब्लेम्स में यूनिट चेंज होने पर दिशा ही बदल जाती है। इसलिए रेश्यो निकालने से पहले सभी यूनिट्स को समान कर लें। ये एक्साम्प्ले देखें:

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   प्रॉब्लम में यूनिट लिखें: वर्ड रेश्यो प्रॉब्लम्स में अगर आप हर एक वैल्यू के सामने उसकी यूनिट लिखेंगे तो गलतियां होने के चांस बहुत काम होंगे और अगर गलती होगी भी तो वो आसानी से पकड़ में आ जाती है। याद रखें एक अंश के नीचे और ऊपर की समान वैल्यू कैंसिल हो जाती हैं। और जितना आप कैंसिल कर सकते हैं उतनी यूनिट कैंसिल करने के बाद ही आपको सही यूनिट प्राप्त होती है।

   एक्सपर्ट टिप

   ग्रेस इमसन एक मैथ (Math) टीचर हैं जिन्हें 40 वर्ष से अधिक का पढ़ाने का अनुभव है। ग्रेस वर्तमान में City College of SanFrancisco में मैथ इंस्ट्रक्टर हैं और पहले, Saint Louis University के मैथ डिपार्टमेंट में थी। उन्होने एलीमेंट्री, मिडिल, हाइ स्कूल और कॉलेज लेवेल पर मैथ पढ़ाई है। उनके पास, Saint louis University से, एड्मिनिसट्रेशन और सुपरविजन में स्पेशलाइजेशन के साथ, एडुकेशन में MA है।

   

   Grace Imson, MA
   मैथ इंस्ट्रक्टर, सिटी कॉलेज ऑफ San Francisco

   एक सामान्य समस्या यह जानना है कि किस संख्या को अंश के रूप में उपयोग करना है। एक वर्ड प्रॉब्लम में, पहला शब्द आमतौर पर अंश होता है और दूसरा शब्द आमतौर पर हर होता है। यदि आप किसी वस्तु की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात चाहते हैं, तो लंबाई आपका अंश बन जाती है और चौड़ाई आपका हर बन जाती है

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