द्विघाती बहुपद के शून्यको और गुणांको के बीच संबंध (Relation Between Zeroes and Coefficients of a Quadratic Polynomial) ज्ञात करने के लिए हम द्विघाती बहुपद के मानक रूप का उपयोग करते है। हम जानते हैं कि द्विघाती बहुपद का मानक रूप f(x) =
ax2 + bx + c है। माना α और β इस बहुपद के दो शून्यक हैं। तब (x – α) और (x – β), f(x) के गुणनखंड होंगे। इसलिए, अचर k के लिए हम लिख सकते हैं f(x) = k(x – α) (x – β) ax2 + bx + c = k{x2 – (α + β)x + αβ} ax2 + bx + c = kx2 – k(α + β)x
+ kαβ तुलना करने पर, a = k, b= – k(α + β), c = kαβ ∵ b= – k(α + β) और c = kαβ α + β = b/-k और αβ = c/k ∵ a = k
α + β = b/-a या -b/a और αβ = c/a इसलिए, द्विघाती बहुपद f(x) = ax2 + bx + c के लिए, शून्यको का योग (α + β) = -b/a = -(x का गुणांक)/(x2 का गुणांक) शून्यको का गुणनफल (αβ) = c/a = (अचर पद)/(x2 का गुणांक)  कुछ उदाहरण –उदाहरण -1) द्विघाती बहुपद 3x2 + 5x – 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की पुष्टि कीजिए। हल – मान लीजिए f(x) = 3x2 + 5x – 2 अब f(x) = 0 3x2 + 5x – 2 = 0 3x2 + 6x – x – 2 = 0 3x(x + 2) – 1(x + 2) = 0 (x + 2)(3x – 1) = 0 x + 2 = 0 और 3x – 1 = 0 x = – 2 और x = ⅓ इसलिए, बहुपद f(x) के शून्यक x = – 2 और x = ⅓ है। अब शून्यकों का योग = – 2 + ⅓ = (-6 + 1)/3 = -5/3 = -(x का गुणांक)/(x2 का गुणांक) शून्यको का गुणनफल = – 2⨯⅓ = -2/3 = (अचर पद)/(x2 का गुणांक) अतः द्विघाती बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित होता है। उत्तर उदाहरण – 2) एक द्विघाती बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः -6 और 5 है। हल – मान लीजिए α और β एक द्विघाती बहुपद के शून्यक हैं। किसी अचर k के लिए द्विघाती बहुपद होगा। k{x2 – (α+β)x + αβ} प्रश्न में, शून्यकों का योग (α+β) = – 6 शून्यकों का गुणनफल (αβ) = 5 मान रखने पर, k{x2 – (- 6)x + 5} k{x2 + 6x + 5} अतः अभीष्ट द्विघाती बहुपद x2 + 6x + 5 है। उत्तर उदाहरण – 3) बहुपद f(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसका एक शून्यक -2 है। हल – यहाँ -2 शून्यक है अतः गुणनखंड (x + 2) होगा। यह f(x) का एक गुणनखंड है। अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए हम बहुपद f(x) को गुणनखंड (x + 2) से भाग देंगे। विभाजन एल्गोरिथ्म से, भागफल x2 + 11x + 10 इसका गुणनखंड होगा क्योंकि शेषफल 0 है। अब भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 2)⨯(x2 + 11x + 10) + 0 x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 2)⨯{ x2 + 10x + x + 10} x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 2)⨯{ x(x + 10) + 1(x + 10)} x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 2)⨯(x + 10)(x + 1) शून्यक ज्ञात करने के लिए, f(x) = 0 (x + 2)(x + 10)(x + 1) = 0 x = -2, x = -10 और x = -1 अतः बहुपद f(x) के सभी शून्यक -2, -10 और -1 हैं। उत्तर द्विघाती बहुपद के शून्यको और गुणांको के बीच संबंध (Relation Between Zeroes and Coefficients of a Quadratic Polynomial) कक्षा 10 अँग्रेजी में द्विघाती बहुपद के शून्यको और गुणांको के बीच संबंध (Relation Between Zeroes and Coefficients of a Quadratic Polynomial) के बारे में अधिक जानकारी द्विघात बहुपदों के और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध क्या होते है?यदि p(x), x में कोई बहुपद है और K कोई वास्तविक संख्या है, तो p(x) में x को k से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या p(x) का x = k पर मान कहलाती है और इसे p(k) से निरूपित करते हैं। का शून्यक कहलाती है, यदि p(k) = 0 है। - b -b - ( अचर पद ) = k: होगा। अतः, रैखिक बहुपद ax + b का शून्यक है।
द्विघात बहुपद क्या होगा जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः 1 और 1 है?द्विघात `x^2-3x-4` बहुपद के शून्यको का गुणनफल ज्ञात कीजिए। एक समतल निर्देशाक्षों को क्रमश: A, B तथा C पर काटता है। यदि `triangleABC` का केन्द्रक (2,-1, 3) है, तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए। उस त्रिभुज का अतः केंद्र ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के निर्देशांक `(1, 2) , (2, 3) " और " (3, 1)` है ।
एक द्विघात बहुपद के शून्यकों की संख्या क्या होती है?द्विघात बहुपद `x^2+2x+3` के शून्यको का योग ज्ञात कीजिए। द्विघात `x^2-3x-4` बहुपद के शून्यको का गुणनफल ज्ञात कीजिए। द्विघात बहुपद `x^2-3`के शून्यको का गुणनफल ज्ञात कीजिए। एक अनभिनत पास को 6 बार उछाला जाता है।
एक द्विघात बहुपद के शून्यकों की अधिकतम संख्या क्या होती है अ 1 ब 2 स 3?द्विघात बहुपद x 2 +7x+10 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए। 36. बहुपद x 2 - 3 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए ।
|
द्विघात बहुपदों के और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध क्या होते हैं? - dvighaat bahupadon ke aur shoonyakon tatha gunaankon ke beech sambandh kya hote hain?
संबंधित पोस्ट
कॉपीराइट © 2024 hi.ketiadaan Inc.
